\chapter{混频建模：Clements and Galvao 2008}
	\section{模型设置}
	\subsection{基本设置}
只有一个解释变量,超前$ h $步预测的的基本模型如下，
\begin{equation}\label{set1}
 y_t =\beta_) + \beta_1B(L^{1/m};\bm{\theta})x_{t-h}^{(m)} + \varepsilon_t
\end{equation}
	
	其中，$ 	B(L^{1/m};\bm{\theta}) = \sum_{k=1}^{K}b(k;\bm{\theta})L^{(k-1)/m}$。注意，$ t $表示基本的时间单位，如季度；$ m $就是一个更高的抽样频率，譬如$ m=3 $就意味着$ x $是月度数据，$ y $是季度数据。注意理解滞后算子$ L^{1/m} $这种分数形式的表达，
	\[ L^{s/m}x_{t-1}^{(m)}=x_{t-1-s/m}^{(m)} \]
	
	为了精简参数，follow "exponential Almon lag"函数，$ b(k;\bm{\theta}) $可以设为，
	\[ b(k;\bm{\theta})= \frac{exp(\theta_1k+\theta_2k^2)}{\sum_{k=1}^Kexp(\theta_1k+\theta_2k^2)} \]
	
	具体可以看一个例子，令$ K = 3,h = 1,m = 3 $，那么可将\eqref{set1}式具体写为，
	\[  y_t =\beta_0 + \beta_1\left( \frac{exp(\theta_1+\theta_2^2)}{\sum_{k=1}^Kexp(\theta_1k+\theta_2k^2)} x_{t-1}^{(3)} + \frac{exp(2\theta_1+4\theta_2^2)}{\sum_{k=1}^Kexp(\theta_1k+\theta_2k^2)} x_{t-1-1/3}^{(3)} + \frac{exp(3\theta_1+9\theta_2^2)}{\sum_{k=1}^3exp(\theta_1k+\theta_2k^2)} x_{t-1-2/3}^{(3)}\right) + \varepsilon_t \]
	
	注意到$ h $的高明之处，如果$ h=1/3 $，就意味着该季度前面两个月数据可行，超前一个月进行预测。
\subsection{加入因变量的AR项}
直接像下面这样添加，会使得数据天然带有季节性特征，
\[ y_t= \beta_0 + \lambda y_{t-1} + \beta_1 B(L^{1/3};\bm{\theta})x_{t-1}^{(3)} + \varepsilon_t \]

因为用滞后算子可以将上式表达为，
\[ y_t= \beta_0(1-\lambda L)^{-1} +  \beta_1(1-\lambda L)^{-1} B(L^{1/3};\bm{\theta})x_{t-1}^{(3)} + (1-\lambda L)^{-1}\varepsilon_t \]

$ x^{(3)} $前面的滞后算子系数使得数据具备季节性。那么可以参考Hendry and Mizon(1978)以如下形式引入AR项，就避免了这种情况，
\[ y_t= \beta_0 + \lambda y_{t-1} + \beta_1 B(L^{1/3};\bm{\theta})(1-\lambda L)x_{t-1}^{(3)} + \varepsilon_t \]

	\section{模型估计}
标准的MIDAS模型可用非线性OLS进行。对于MIDAS-AR模型，则可如下进行，
	
